תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת כל ההפיכים ב A תסומן ב A. חלוקה A חוג..a, b A.ac b כך ש c A אם קיים (a b מחלק את b (מסומן a חבר, אי פריק, וראשוני A חוג..a, b A נאמר ש b חבר של a אם יש A ε כך ש.b εa a נקרא אי פריק אם A a, 0 a, / וכל מחלק של a הוא חבר של a או הפיך.. ab a or b וגם, 0, / A נקרא ראשוני אם A מחלק משותף {0} \ Z c.a, b נקרא מחלק משותף של a, b אם c a וגם.c b אוסף כל המחלקים המשותפים של,a b זו קבוצה סופית. האיבר הגדול ביותר בקבוצה זו נקרא המחלק המשותף הגדול ביותר ומסומן b).gcd(a, אם 1 b) gcd(a, נאמר ש b a, זרים. A חוג. 1. טענות תכונות חלוקה לכל ±1 b,b A לכל b A ולכל A.a b,a כל איבר מחלק את 0, ו 0 מחלק רק את עצמו. אם a b ו 0 b אז b. a אם a b ו b c אז.a c אם a b ו A c אז.ac bc אם a c, a b ו A u, v אז.a ub + vc טענות על אי פריקים וראשוניים 1
יהי A חוג. אם A ראשוני אז אי פריק. אם A, Z אז כל a A 0 שאינו הפיך אפשר לרשום כמכפלה של אי פריקים. נניח A חוג, בו כל מזפר חוץ מ 0 והפיכים אפשר לרשום כמכפלה של אי פריקים. אזי הפירוק הוא יחיד כל אי פריק ב A הוא ראשוני. חלוקה עם שארית נניח.a > 0,a, b Z אז יש r Z,0 r < a,q Z יחידים כך ש: r.b aq + r נקראת השארית שמתקבלת מחלוקת a ב b. על gcd לכל,a, b Z יש k, l Z כך ש.gcd(a, b) ka + lb מסקנה ב Z כל אי פריק הוא ראשוני. מכאן גם שכל פירוק לאי פריקים הוא יחיד. מסקנה אם (b d gcd(a, ו n מחלק משותף של,a b אז.n d 1.3 אלגוריתם אוקלידס יהי.a, b Z בה"כ > 0.a נסמן 1 r.a r 0,b נבצע חלוקה עם שארית: b q 0 a + r 1 q 0 r 0 + r 1 0 r 1 < r 0 a r 0 q 1 r 1 + r 0 r < r 1 ממשיכים כאשר בצעד ה j : r j 1 q j r j + r j+1 0 r j+1 < r j ממשיכים עד שמגיעים לשארית 0. כלומר עד שיש kעבורו 0 1+k r. gcd(a, b) r k ( rj r j+1 את הנוסחה j+1 r j 1 q j r j + r ניתן לרשום גם כך: ) [ ] ( ) 0 1 rj 1 1 q j r j ניסוח מטריציוני (מטריצה הפיכה בשלמים). מספרים ראשוניים.1 משפטים.n r1 1... r k k מסקנה מהפרק הקודם לכל,n,n N יש k N ראשוניים שונים 1,... k ו rכך 1, r...r k ש פירוק זה יחיד עד כדי שינוי סדר.
משפט אוקלידס יש אינסוף ראשוניים הגדרה נסמן את הראשוניים בסדר עולה... < k 1 < <... < נגדיר את הפונקציה ( Π(xלהיות: Π(x) #{k k x} Π(x) x log x משפט המספרים הראשוניים (לא הוכח) c 1 x x משפט צ'בישב קיימים קבועים חיוביים c 1, c כך ש log x Π(x) c log x לכל l < l,l N מסקנה לכל,x Π(x) log(log x). שיטות פשוטות למציאת ראשוניים מספרי פרמה F n n + 1 פרמה ניחש שמספרים אלה ראשוניים. למעשה רק ה 4 הראשונים ראשוניים. לכל.gcd(F n, F m ) 1,n m מסקנה יש אינסוף מספרים ראשוניים. מספרי מרסן M n n 1 n is rime לא כל מספרי מרסן ראשוניים. 3 פיתרון קונגרואנציות 3.1 חוג השלמים מודולו (Z m ) m יהי m טבעי,,a b Z נקראים קונגרואנטים מודולו m אם.m b a בצורה לא פורמלית אם,a b משאירים את אותה שארית בחלוקה ב m. נסמן m).a b(mod יחס זה הוא יחס שקילות. את קבוצת מחלקות השקילות נסמן ב Z. m לקבוצה זו קוראים השלמים מודולו m. אפשר לבצע פעולות חיבור, חיסור, וכפל על נציגי המחלקות. לכן Z m הוא חוג. הגדרה איבר a Z m נקרא הפיך אם יש b Z m כך ש m).ab 1(mod נסמן את קבוצת האיברים ההפיכים ב.Z m טענות 1 m) a Z m gcd(a, 3
נניח.gcd(k, m) 1,k Z,a, b Z m אזי: a b(mod m) ka kb(mod m). מסקנה Z m שדה m ראשוני. נניח ש r מחלק משותף של,k. m אזי: ka kb(mod m) k r a k r b(mod m r ) a b(mod m ka kb(mod m)) gcd(m, k) מסקנה קבוצת ההפיכים מודולו (Z m) m הגדרה עבור m טבעי נסמן m φ(m) Z n r1 אזי 1... r k k אם φ(n) k i1 ri 1 i ( i 1) n k (1 1 ) i i1 מסקנה φ כפלית. כלומר לכל gcd(n, m) 1,n, m Z מתקיים φ(n)φ(m).φ(mn) לכל n טבעי φ(d) n d n 3. פיתרון קונגרואנציה ממעלה ראשונה m)) ax b(mod (( ) משפט נסמן ב (m d. gcd(a, אז מספר הפיתרונות ל ( ) ב Z m הוא: { 0 d b d d b כמו כן, אם d b אז מספר הפיתרונות ב Z m/d הוא 1. משפט השאריות הסיני נניח m 1... m k זרים בזוגות. יש x Z כך ש ) i.( ) x c i (mod m.m k אז אם y Z פיתרון ל ( ) אזי M) x y(mod כאשר i1 m i 4
משפט פרמה הקטן אם ראשוני ו ),x 0(mod אז ).x 1 1(mod משפט אוילר יהי.m,m N אז לכל.x (φ(m)) 1(mod m),x Z m משפט וילסון יהי ראשוני. אז ).( 1)! 1(mod 3.3 מבחן הראשוניות של מילר רבין בהינתן 3 m אי זוגי, נרשום s,m 1 l s אי זוגי. נבחר 1} m b {1,..., ונבצע את הפעולות הבאות:.1 אם m) b m 1 1(mod פולטים m נכשל לפי בסיס b ועוצרים.. אם m) b s 1(mod פולטים m עבר לפי בסיס b ועוצרים..3 מוצאים את ה r היחיד המקיים m).x b r s 1(mod m),b r+1 s 1(mod אם 1 x פולטים m עבר לפי בסיס b ועוצרים. אחרת פולטים m נכשל לפי בסיס b ועוצרים. משפט משפט אם m ראשוני, אז לכל b, האלגוריתם יסתיים בפלט "m עבר לפי בסיס b". אם m לא ראשוני, אזי: {b Z m m asses with b} 1 4 φ(m) 1 4 Z m 3.4 שורשים פרימיטיביים המספר המינימלי k המקיים m) a k 1(mod נקרא הסדר של a מודולו m ומסומן (a).ord m.ord m (a) φ(m) אם m נקרא שורש פרימיטיבי מודולו a משפטים וטענות אם m) a r 1(mod ו (a) k ord m אז.k r ord m (a) φ(m) אם a פרימיטיבי מודולו m אז } φ(m) 1 Z m {1, a, a,..., a מסקנה משפט האיבר הפרימיטיבי אם m ראשוני אז קיים איבר פרימיטיבי מודולו m. משפט קיים איבר פרימיטיבי מודולו m, m 4, m k, m k m (כאשר ראשוני אי זוגי) 3.5 ההעתקה m) x x r (mod (העלאה בחזקת (r נגדיר את ההעתקה f : Z m Z m ע"י m).f(x) x r (mod טענות.a φ(m) gcd(φ(m),r) נניח שקיים אוביר פרימיטיבי מודולו m. יהי a. Z m אז קיים x Z m כך ש m) 1(mod m) x r a(mod 5
אם r, s זרים ל φ(m) והופכיים m) sr 1(mod אז ההעתקה m) f(x) x r (mod הנ"ל היא חח"ע ועל וההעתקה ההופכית לה היא m).f(x) x s (mod מקרה פרטי r נניח ש 3 :m φ(m) gcd(φ(m), ) 1.a 1 מסקנה אם ראשוני אז קיים פיתרון ל ) 1(mod ) x a(mod.a 1 הערה תמייד מתקיים ) ±1(mod 3.6 קונגרואצניות ריבועיות נדון בשאלה עובר אילו a Z m קיים x כך ש m).x a(mod אם יש משוואה דומה עם a / Z m אז ניתן לצמצם אותה עד למצב הנ"ל. נניח m m 1 m,a Z m ו ( gcd(m 1, m כאשר > 1.m 1, m אז יש פיתרון ל m) x a(mod יש פיתרון ל ).x a(mod m 1, )x a(mod m מסקנה מספיק לדעת לפתור את המקרה ) r x a(mod ( ) { a 1 x. x a(mod ) 1 o.w. 3.6.1 סימן לג'נדר נניח 3 ראשוני ו.a Z נסמן קריטריון אוילר ( ) a a 1 (mod ) ( ) ab ( a ) ( ) b (mod ) מסקנה אם 3 ראשוני אז לכל a, b Z m מתקיים שארית ריבועית נקרא ל a שארית ריבועית מודולו m אם קיים x כך ש (m x. a(mod 1 כאשר 3 ראשוני. מספר השאריות הריבועיות מודולו הוא ( ) 1 ( 1) 1 מסקנה אם 3 ראשוני אז 6
משפט יהי.m k כאשר 1,, 3,k a שארית ריבועית מודולו a 1(mod m) m כאשר 3,k a שארית ריבועית מודולו a 1(mod 8) m משפט עבור ראשוני אי זוגי ו a Z m אז a שארית ריבועית מודולו a r שארית ריבועית מודולו. ( ) ( 1) 1 8 משפט יהי 3 ראשוני. אז { l 1 j 1 the only reresentative of j a mod in the range 3.6. הלמה של גאוס יהי 3 ראשוני (ו ).a Z m אז ( 1) l כאשר a [ 1, 1 ] is negative} ( ) ( ) q ( 1) 1 4 ( 1)(q 1) q ( ) ( 1) 1 4 ( 1)(q 1) q ( ) q 3.6.3 חוק ההדדיות הריבועית נניח, q ראשוניים. או באופן שקול: 3.6.4 סימן יעקובי אם m N אי זוגי, נפרק אותו ל m 1... k כאשר i ראשוניים אי זוגיים (מותר ריבוי). אם a Z m נגדיר את סימן יעקובי להיות ( a m) k ( ) a i1 i. ( a m) אם > 1 m) gcd(a, נסמן 0 ( a. בכיוון ההפוך זה לא תמיד נכון. m) הערה אם a שארית ריבועית מודולו m אז 1 7
( ) ab ( a ) ( ) b m m m תכונות סימן יעקובי אם,a b זרים ל mאז נניח,n m טבעיים אי זוגיים. אזי: ( a ) ( a ) ( a mn m n) אם a זר ל m ול n אז ( ) 1 ( 1) 1 (m 1) m ( ) ( 1) m 1 8 m ( m ) ( n ( 1) n m) 1 4 (m 1)(n 1) 4 קירובים דיופנטיים משפט דיריכלה יהי Q טבעי ויהי.Θ R אז יש מספר טסעי q < Q 1 ושלם כך ש qθ 1 Q Θ q 1 qq Θ q 1 q או באופן שקול: בפרט: k שמקיימים: q k מסקנה אם Θ, R \ Q אז יש אינסוף רציונלים מצומצים Θ k q k 1 qk 8
4.1 שברים משולבים כל רציונלי q ניתן לרשום (לפי אלגוריתם אוקלידס) כשבר משולב: q a 1 0 + 1 a 1 + a + 1...+ an 1 [a 0 ; a 1, a,..., a n ] כאשר. i 1. a i N,a 0 Z אם ] m m n,[a 0 ; a 1, a,..., a n ] [b 0 ; b 1, b,..., b אז או שמתקיים i. a i b i,m n או שמתקיים 1 m n m + 1, 0 i m 1. a 1 b 1, a m+1 1, a m b מסקנה ההעתקה cf : {[a 0 ; a 1,..., a n ]} Q המעבירה שבר משולב לרציונלי היא על ל 1 k+1 a k+1 k + k 1 נסמן 1 q.q 1 1, q 1 0, בהינתן ] n [a 0 ; a 1, a,..., a נגדיר נוסחאת נסיגה: q k+1 a k+1 q k + q k 1 [ ] [ ] [ ] k+1 k k k 1 ak+1 1 q k+1 q k q k q k 1 1 0 בכתיבה מטריצית: אז n q n [a 0 ; a 1, a,..., a n ] [ ] k+1 det k ±1 q k+1 q k מסקנה לכל n וגם קיים > 0 c λ > 1, כך שלכל q n cλ n n מסקנה נניח a 0 Z ולכל a i N,i N קיים הגבול [a 0 ; a 1, a...] lim n [a 0; a 1, a,..., a n ] 9
לכל α R \ Q יש סדרה... 1 a 0, a כך ש Z a 0 ו i 1. a 1 N המקיימת: k: אז לכל n q n... < k q k < k q k <... < α <... < k+1 q k+1 < k 1 q k 1 <... 1 a n+1 qn > α k q k > 1 (a n+1 + ) qn אם ] n [a 0 ; a 1, a,..., a. k q k בפרט לכל :n. α q C(α) q α q אז יהי.α Q יש > 0 C(α) כך שאם α q < C(α) q מסקנה יש מספר סופי של קירובים "טובים" משפט משפט ההעתקה cf : [a 0 ; a 1, a,...] R \ Q המוגדרת ע"י שברים משולבים היא חח"ע ועל. 4. מספרים אלגבריים וטרנסצדנטים הגדרות מספר אלגברי הוא α C שהוא שורש של פולינוך עם מקדמים רציונליים. כך רציונלי הוא אלגברי. הדרגה של מספר אלגברי הוא ה 1 d המינימלי עבורו יש פולינום עם מקדמים רציונליים מדרגה d כך ש α שורש שלו. דרגה של מספר רציונלי היא תמיד 1. מספר שאינו מספר אלגברי נקרא טרנסצדנטי. α q C(α) q d משפט ליוביל יהי α אלגברי מדרגה d. α q מתקיים אז יש < 0 C(α) כך שלכל רציונלי C(α) q α q 1 q מקרה פרטי d מדיריכלה וליוביל:. x q C q מסקנה נגדיר x להיות מקורב רע אם יש > 0 C כך שלכל, q אלגבריים מדרגה הם מקורבים רע. משפט קבוצת המספרם האלגבריים היא בת מנייה, והמרוכבים אינם. < x > min x y dist(x, Z) y Z משפט נסמן עבור x: R n עבור...], 1 α [a 0 ; a מאופיינים ע"י התכונה הבאה: q n < q n α > min < rα > q n r R המכנים q n של הקירובים ] n [a 0 ; a 1,..., a יתרה מזאת: הסדרה > α < q n יורדת ל 0. לכל n ולכל b < q n+1,a, b Z,1 מתקיים > α. bα a < q n, 10
משפט לגרנז' x אלגברי מדרגה x מחזורי ממקום מסוים 5 משוואת פל נתון D,D N לא ריבוע. ננסה למצוא את כל הפיתרונות בשלמים הלא טריוויאלים למשוואה ˆ x Dy 1 (פיתרון טריוויאלי הוא 0) (±1, y) ((x, אם (y,x) פיתרון למשוואת פל, אז לכל n נרשום: x n + y n D(x + y D) n (x y D) n. x n x n, y נקח n yn אז כאשר x n, y n שלמים הם פתרונות למשוואת פל. משפטים לכל D לא ריבוע יש למשוואת פל פיתרון לא טריוויאלי לכל D לא ריבוע כל הפיתרונות הלא טריוויאלים מתקבלים מה ומהחלפת סימנים. 11